Cлово «тригонометрия» входит в ТОП-5 слов-ужастиков в математике. Но на самом деле, всё не так страшно, если подойти к теме, как говорят американцы, «step by step».
Треугольник
Первый раз с тригонометрией мы обычно сталкиваемся в школе, хотя скорее всего ваш учитель в основном говорил о функции синуса, фундаментальном инструменте для оценки отношения сторон и острых углов прямоугольного треугольника. Давайте представим прямоугольный треугольник. Как вы думаете, как изменится сторона b, если мы будем увеличивать угол ? Верно, сторона b станет длиннее. Теперь представим, что угол равен 0°, тогда треугольник «схлопнется» в горизонтальный отрезок длины c, а сторона b и вовсе исчезает.
Интересно, а что если угол = 90°? Теперь треугольник схлопнется в вертикальную прямую и сторона b сольётся со стороной c, то есть b = c. Зачем мы проделали эти манипуляции? Это поможет нам понять истоки зарождения тригонометрии, ведь в переводе с греческого слово «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Расчёты соотношений между сторонами прямоугольного треугольника и было первоначальным предназначением тригонометрии.
Понятие синуса угла определяется через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Если вы понимаете, как изменяется треугольник по мере изменения угла, то вы поймёте, как будет изменяться синус этого угла. Однако в наше время слово «тригонометрия» звучит по меньшей мере скромно, учитывая то, насколько далеко ушла эта дисциплина за рамки измерения сторон треугольников.
Тригонометрия — это ключ к математике циклов — от описания течения электричества и света до морских и даже мозговых волн.
Так вот, синусом угла называется отношение противолежащего катета (стороны b) к гипотенузе (сторона c).
Аналогично задаётся понятие косинуса угла. Это отношение прилежащего катета (сторона a) к гипотенузе (сторона c).
Колесо обозрения
Для того, чтобы увидеть, как в тригонометрии связаны треугольники, круги и волны, давайте проведём мысленный эксперимент. Представьте, что вы катаетесь на колесе обозрения.
Как меняется ваша высота над уровнем земли? Для выяснения этого, возьмём с собой GPS-приемник, который измеряет высоту, секунду за секундой, пока вы поднимаетесь и опускаетесь на колесе. Хотя вы все время двигались только по окружности, GPS выдаст вам результат не похожий на окружность. Знакомьтесь, это синусоида. Она помогает нам описать повторяющиеся движения.
Когда вы катались на колесе обозрения, вы совершали подобные движения. А причём здесь треугольники? Как это относится к функции синуса, о которой мы говорили? Мы сделали первый шаг — показали связь движения по окружности с волной. Осталось сделать ещё один маленький шаг.
Круг, Волна и Треугольник
Вернёмся к нашему колесу обозрения. Представьте, что оно сломалось и вы застряли. В этот момент вы находитесь под определённым углом по отношению к земле, назовём этот угол (угол к пунктирной линии на рисунке). Не трудно заметить, что три точки: вы, центр окружности и ваша проекция образуют прямоугольный треугольник (гипотенуза — радиус колеса). Для удобства предположим, что радиус колеса равен 1. Тогда синус угла показывает вашу высоту над центром колеса.
Вам повезло и спустя пару минут колесо обозрения вновь заработало. По мере движения угол увеличивается и в конце концов, когда вы будете проходить наивысшую точку, он перевалит за 90°. С этого момента уже нельзя говорить, что угол «принадлежит» нашему правому треугольнику. Ничего страшного. Математики уже давно расширили определение функции синуса, которое разрешает использовать любое значение угла.
В нашем случае эта функция будет показывать высоту кабинки относительно центра колеса, а график синусоиды как раз показывает вашу высоту по мере увеличения угла . Угол даже может быть отрицательным, если колесо внезапно начнет вращаться в обратную сторону. И синусоида повторяет себя, каждые 360°, точно также, как и вы будете оказываться на одном и том же месте, совершая всё новые и новые обороты.
Язык тригонометрии
Вроде бы с тем, что такое синус и косинус мы разобрались. Выяснили, что по мере изменения угла значения синуса и косинуса повторяются. Заранее прошу прощения за то, что сейчас произойдёт. Стало ли вам легче понимать, что значит эта запись?
Если вы сморщили лицо и всё равно испытываете неприязнь к математике, то ответ на это неравенство вовсе вызывает головокружение.
У меня для вас две новости. Хорошая заключается в том, что если вы дочитали до этого места, вы близки к тому, чтобы понять, что такое «тригонометрия». Плохая новость заключается в том, что нам всё ещё нужно сделать пару шагов.
Что это значит в контексте нашего мысленного эксперимента с колесом обозрения? Это значит, что ваша высота должна быть минус одна вторая относительно центра колеса. То есть, вы должны быть ниже центра колеса на одну вторую. Нужно найти угол, при котором мы зависнем на такой высоте.
На колесе есть две точки, где вы будете находиться на нужной высоте (две красные точки на рисунке). Следовательно, существует два нужных нам угла а1 и а2.
Обратите внимание на два прямоугольных треугольника, выделенных зелёным цветом. Они одинаковые, так как являются зеркальным отображением друг друга. Давайте так же зеркально отобразим правый треугольник, но уже «вверх». Этот треугольник, выделенный красным цветом, имеет гипотенузу равную 1 (радиус колеса) и противолежащий катет (высота над центром) равный одной второй.
В силу того, что все три треугольника одинаковые, они имеют одинаковые острые углы. Давайте найдём острый угол красного треугольника, при котором его синус равен одной второй. Поступим также, как древние астрономы, и заглянем в таблицу значений синуса для различных углов. Итак, sin а = одной второй а при = 30°. Интуитивно понятно, что наши три угла и значения их синусов связаны. Но как?
Полный круг составляет 360°. Разделим его на четыре четверти по 90° и пронумеруем их. Первая точка находится в третьей четверти. Так как две четверти в общем дают 180°, а угол а= 30°, то искомый угол а1= 210°.
Нашли первый угол. Вторая точка находится в четвертой четверти. Три четверти в общем дают 270°, но прибавлением 30° тут не отделаешься, так как нужно прибавить угол B, а не угол a.
Так как угол a+B = 90°, то угол B = 90°–30°=60°. И второй искомый угол равен 270°+ 60°=330°. Остался один маленький нюанс. Помните, как мы говорили о том, что тригонометрические функции описывают повторяющиеся процессы? Если наше колесо не остановится после того, как совершит полный оборот в 360°, то с каждым новым оборотом вы будет проходить через две точки, находящиеся на уровне минус одна вторая. Эти точки определяются простым прибавлением 360° к найденным нами углам
При этом n — любое целое число, то есть, на нашем примере это количество оборотов колеса. Стоит заметить, что число n может быть и отрицательным, если колесо крутится в обратную сторону.
Равенство sin а= минус одна вторая мы решили. Перейдем к неравенству sin а больше или равно минус одна вторая. Если для решения равенства мы нашли значения углов, при которых наша высота над центром колеса равна минус одна вторая, то для решения неравенства нам нужно найти все углы, при которых наша высота больше либо равна минус одна вторая.
Помните мы говорили о том, что угол может быть отрицательным? Сейчас нам это пригодится. Определим угол а2 не как 330°, а как –30° (330°–360°) На рисунке эта область выделена зелёным цветом. Для того, чтобы правильно записать решение неравенства, обратите внимание на рисунок синусоиды и прямой y= минус одна вторая (высота). Нас интересуют области синусоиды, которые выше прямой y= минус одна вторая. На рисунке они заштрихованы красным цветом. Обратите внимание на точки, которые выделяют эти отрезки. Это те же точки, которые мы получили при решении равенства sin а= минус одна вторая и они повторяются каждые 360°. Ответ можно записать так:
Дело осталось за малым. Во-первых, вспомнить, что математики обозначают 180° как , когда записывают формулы с углами, и переписать решение так:
Миссия выполнена!
Еще больше полезный знаний включает онлайн-курс «Тригонометрия: с нуля и до конца», доступный на сайте DAR U. Он предоставляет многоуровневые знания по теме «тригонометрия», которая включена в курс алгебры с 8 по 10 класс. В курсе рассмотрены как простейшие теоретические вопросы, так и более сложные моменты, выходящие за рамки школьной программы.
