История человечества с момента его зарождения — это история странствий и географических открытий. Как правило, в те далёкие времена люди путешествовали из необходимости, они искали благоприятные места для жизни с учётом мягкого климата, наличия чистых водных источников, изобилия флоры и фауны. Люди преодолевали реки и моря, пустыни и леса, океаны и континенты, в итоге расселившись по всей Земле. Эти путешествия, конечно, были невозможны без использования географических карт. Археологические находки подтверждают, что составлять карты человечество научилось раньше, чем писать.
Минута истории
Первобытная карта из пещеры Абаунтц (Испания, 14 000 лет) — прообраз современных карт. На древних картах изображались горы, реки, моря и леса. Но на этих картах вы не найдёте информацию о параметрах (высота, глубина, широта) этих географических объектов и особенностей рельефа. Первобытному человеку не хватило бы технических навыков измерить и вычислить эти параметры. Но первый шаг был сделан — люди научились изображать окружающий трёхмерный мир на двумерной плоскости карты. На языке математики это называется — проекция трёхмерного объекта на плоскость.
Камень с рисунком обнаружили в далёком 1993 году в пещере Абаунтц на севере Испании. Специалисты из университета Сарагосы 15 лет бились над его расшифровкой и пытались выяснить предназначение. «Мы можем с уверенностью сказать, что это эскиз, карта окружающей местности»,— говорит глава исследовательской группы Пилар Утрилла.
Эксперты считают, что эта карта является самой древней из известных учёным. До сих пор на территории Западной Европы не находили ничего подобного. «Тот, кто сделал его, пытался показать на камне водоёмы, горы, расположенные неподалёку от пещеры, и животных, проживающих на этой территории,— говорит один из учёных. — Изображённый ландшафт точно воспроизводит окружающую местность.
Проекция
Остроконечную гору нетрудно представить себе в виде конуса. Подобное допущение не искажает сути. Проекция конуса (рис. 1а) на боковую плоскость — треугольник (рис. 1б). Если проецировать конус на плоскость основания, мы получим окружность (рис. 1в). На древних картах люди одновременно использовали второй вариант проекции для гор, а для других объектов — первый тип. Это вызывало трудности в чтении подобных карт и вызывало путаницу, когда объекты, например, как гора и озеро, находились рядом. В итоге при составлении карт закрепился только второй вид проекции (на плоскость основания), а от проекции на боковую плоскость остались линии высот. Точки на этой линии лежат на одной высоте, таким образом изображается рельеф объекта
Аналогично можно представить себе и впадины, только уже в виде перевёрнутого конуса (рис. 2). Для того, чтобы отличить гору от впадины, используем, в первую очередь, цвета (коричневый, при этом, чем темнее цвет, тем выше точка), во-вторых, маленькие штрихи (если они расположены с внутренней стороны круга, то это впадина, с внешней стороны — гора).
С помощью проекции мы можем изображать географические объекты на плоскости карты. Чтобы составить проекцию, нам необходимы объекты. Ведь гора или впадина из нашего примера не всегда имеют такую простую форму. В примере мы прибегли к упрощению исходного объекта, который мы собирались проецировать. Упрошенная 3D-модель не рассматривала все детали исходного объекта, но самые важные для нас были учтены: а) высота и b) форма объекта. Этого достаточно для решения множества практических задач.
3D-модель
Трёхмерный объект состоит из точек. Каждая точка описывается тремя числами, которые мы называем координатами x, y, и z. Представьте себе, что вы рисуете на компьютере объект (например, бокал). Он состоит из точек, и вы вносите координаты каждой точки в компьютер (по три числа), и он закрашивает эту область. Это займёт кучу времени. Можно ли упростить эту задачу? А что если взять похожий нарисованный бокал? Конечно, он не будет в точности совпадать с исходным, но он похож, и главное — мы сэкономим время. Пойдём дальше, пусть компьютер вычислит координаты похожего объекта сам! Правило, как вычислять эти точки в математике называются — функциями. У географических объектов есть математические двойники, которые мы можем использовать.
Параболоид – Возвышенность (гора)
Параболоид – Возвышенность (гора) Этот вид функции описывается уравнением: z = h – x2 – y2 . Внешнее сходство с горой позволяет нам использовать эту функцию в качестве приближенной 3D-модели горы. Причём высота горы задаётся параметром h (он является максимумом этой функции).
Пригорок
Пригорок В отличие от возвышенности пригорок имеет меньшую высоту и эта высота сохраняется на протяжения некоторой прямой, математически мы можем представить его через функцию: z = h – y2. Параметр h определяет высоту пригорка.
Как бы фантастически это ни звучало, но математика способна дать точный ответ относительно того, каким образом соотносятся между собой вершины, перевалы и котловины. Соответствующий раздел математики, изучающий свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, называется «топологией».
Топология
Топология Приведём одно из интереснейших следствий теории американского математика МОРСА МАРТСОНА — для любого острова в море верно равенство: В + К – П = 1, где В — число вершин, К — число котловин, П — число перевалов. Проиллюстрируем соотношение на примере. В качестве доказательства этого утверждения, мы будем использовать любой произвольный остров. Приступим к доказательству, но сперва сделаем ряд допущений, которые не меняют сути нашей теоремы: а) все вершины находятся на одной высоте; б) все впадины находятся на уровне моря.
Представим, что начался сильный дождь, который в конце концов погрузит наш остров полностью под воду. В ходе этого процесса будем наблюдать, как меняется количество В (вершин), К (котловин) и П (перевалов). Процесс потопа будет состоять из трёх этапов: начало дождя, конец дождя и сам процесс затопления.
Начало и конец дождя
Как только начнётся дождь, в котловинах будет скапливаться вода, образуя озёра. Это означает, что количество озёр в начале дождя равно количеству К (котловин). Перед тем как погрузиться в воду, на поверхности нашего острова останутся В (вершины), образуя маленькие острова (количество вершин перед полным затоплением равно количеству островов).
Во время дождя
По мере подъёма уровня воды могут происходить события только двух видов: слияние вод из одно и того же озера (рис. 3а) или слияние двух разных озёр (рис. 4а). При слиянии одного озера, количество озёр остаётся неизменным, но образуется новый остров (рис. 3б). При слиянии двух озёр количество островов остаётся неизменным, но уменьшается количество озёр (рис. 4б).
То есть каждый момент времени при затоплении перевала нашего острова либо уменьшается на 1 количество озера, либо увеличивается на 1 количество островов.
Согласно таблице, количество озёр может уменьшиться до K = K – 0, а количество островов может увеличиться до В – 1 (количество до дождя — количество после дождя), следовательно, каждый перевал должен быть причиной появления острова или исчезновению озера, то есть П = К + (В – 1) откуда следует искомое соотношение В + К — П = 1
Заглавное изображение: Unsplash
