Малейшая ошибка или неточность может привести к неверным результатам. Именно поэтому математики уделяют огромное значение доказательствам и тому, как вообще следует доказывать. Сегодня мы хотим рассказать вам о двух самых известных способах доказательства, которые применимы не только в математике, но и реальной жизни.
Что значит доказать?
Математика для понятия «доказать »определяет самые жесткие требования. Начнем с того, что никакой способ кроме логического не принимается как доказательство, а сами логические выводы должны быть абсолютно правильными. Более того, любой желающий должен иметь возможность заново воспроизвести эти доказательства и получить такой же вывод. Например, доказательство теоремы Пифагора, вы без труда можете повторить сами. Несмотря на то, что математики очень часто используют свою интуицию и аналогии между разными теоремами, сами доказательства не могут быть основаны только на них.
Математическая индукция
Математическая индукция — один из самых распространенных способов доказательств в математике. Чаще всего этот метод применяется для доказательств формул и соотношений. Давайте разберемся в принципе, который лежит в его основе. Для этого нам понадобятся костяшки домино и формула геометрической прогрессии!
Давайте вспомним как выглядит формула суммы и попробуем ее доказать методом математической индукции. Костяшки домино помогут нам проиллюстрировать ход доказательства. Для начала соберем костяшки в ряди поставим на меньшее ребро, как показано на рисунке:
Затем выписываем формулу геометрической прогрессии, которую мы хотим доказать:
Шаг первый: базис индукции
На первом шаге индукции мы должны проверить истинность утверждения для первого номера последовательности. В нашем случае это значит: верна ли наша формула для n=1? А для случая с рядом домино: можем ли мы уронить первую костяшку домино? Для формулы все очень просто:
А для костяшек домино все еще проще, очевидно что первая костяшка упадет, если ее толкнуть. Мы смогли удостовериться в том, что базис индукции верен
Шаг второй: предположение истинности для произвольного члена
В следующем этапе мы делаем предположение, что наше утверждение верно для некоторого значения k последовательности. Для исходной формулы мы получаем следующее:
Пока что ничего особенного не произошло, выглядит всё так будто мы только заменили n на k. То же самое можно сказать и про костяшки домино, пусть истинно то, что костяшка под номером k упадет, если ее толкнуть.
Шаг третий: переход (доказательство k+1)
Самое интересное начинается именно наэтом шаге. Теперь основываясь на нашемпредположении из шага 2, мы должныдоказать истинность следующего шага, то есть истинность k+1 выражения:
Для первых k членов ряда мы можем применить формулу из второго шага и попробуем произвести упрощения:
Мы вывели формулу эквивалентную исходной (если предположить что k=n-1,мы получим исходную формулу). Обрати-те внимание, что выбор k был произвольным. Мы смогли доказать справедливость исходной формулы. А как же обстоят дела с костяшками домино? Все аналогично, мы должны за-даться вопросом может ли костяшка но-мер k, которую мы толкнули, уронить k+1?
Как мы видим k костяшка, падая на k+1, роняет ее. Аналогично нашему примеру, это верно для любой k-ой костяшки(вплоть до самой последней, потому что за ней уже нет костяшек)
Доказательство «от противного»
В основе этого метода лежит математическая логика, которая многим интуитивно понятна. Он может быть представлен одной формулой на языке логических операторов. Если вы не смогли «прочесть» эту формулу — ничего страшного, мы вас научим:
Научное определение этого метода звучит скучно, но вы запросто поймете его на наших примерах. Этот метод очень часто при-меняют и в повседневной жизни. Скорее всего, многие из нас впер-вые столкнулись с методом доказательства еще в детстве. Человеком, который прекрасно им владел была…ваша мама. Наверняка у многих из нас были дни, когда не хотелось идти в школу, и мы говорили маме, что больны или даже, что у нас грипп! Приведем рассуждение вашей мамы:
Если ты болен гриппом значит, у тебя должна быть температура и заложенный нос. Но ничего этого нет.
Как мама пришла к этому выводу?
Шаг 1: Определить утверждение, которое мы хотим доказать.
Изначально ваша мама пытается доказать, что вы здоровы. Обозначим это утверждение через А = «У тебя нет гриппа».
Шаг 2: Предположить, что утверждение, которое мы хотим доказать неверно.
Ваша мама допускает, что вы болеете гриппом, на языке логики это будет записано, как А, то есть А = «У тебя есть грипп».
Шаг 3: Выявление противоречия.
Прямым следствием из утверждения А = «У тебя есть грипп» будет утверждение B = «У тебя должна быть температура и заложенный нос». Так как мы не наблюдаем температуру и заложенности носа, из этого следует, что утверждение B ложно.
Шаг 4: Из ложного следует ложное
Если мама не наблю-дает температуру, то она делает вывод, что изначальное предположение «У тебя есть грипп» неверно. Значит, никакого гриппа нет.
Давайте попытаемся, используя метод доказательства от противного, ответить на более сложные вопросы.
- «Какое самое большое число?» Вопрос, которым за-давался хоть раз каждый человек. Ответим на этот вопрос, используя наш метод. «Пусть N наибольшее натуральное число (отрицание А),но существует число N+1 которое больше чем N (В — ложное следствие). Противоречие. Следовательно, не существует наибольшего натурального числа».
- Попробуйте решить следующую экзотическую задачу. Кстати, решение может быть очень полезным и в повседневной жизни. «Можно ли замостить костяшками домино доску, указанную на рисунке 1?»
Конечно, первым делом можно попытаться методом проб и ошибок замостить доску. Количество клеток равно 8 x 8 — 2 = 62, что кратно двум. Явного противоречия мы не видим. Но ваши попытки будут безрезультатными, потому что в этой задаче такое сделать невозможно. Попробуем доказать. Для начала, обратите внимание, на то, что наша доска очень напоминает шахматную, только без угловых клеток. Давайте вернем ей шахматный облик (рисунок 2) (в решении для общего случая, размер доски и количество клеток не имеет значения.
Обратите внимание! Как бы мы не расположили костяшку домино, она будет лежать одной стороной на черной клетке, другой — на белой. Приступим к доказательству: Предположим, что мы можем устелить доску костяшками. Этоз начит что количество черных клеток равно количеству белых, так как костяшка занимает именно одну белую клетку и одну черную. Противоречие. Количество черных клеток равно 32 — 2 = 30, а количество белых 32. Следовательно, замостить доску костяшкой мы не можем.
Метод математической индукции и доказательство от противного — два самых основных принципа, которые вы должны вынести из всего курса школьной математики. Зная и понимая их, вы уже можете справиться со многими математическими задачами и не только.
Заглавное изображение: Unsplesh
