Знание принципов геометрической прогрессии помогает нам в повседневной жизни, начиная от начисления процентов по депозиту, заканчивая изучением скорости распространения эпидемий. Также геометрическая прогрессия лежит в основе знаменитого парадокса, бросающего вызов нашему пониманию бесконечности.

До Луны и обратно

Возьмем газетный лист. Сколько раз можно сложить его пополам? В реальном мире, максимум семь раз (попробуйте сделать это сами). Но давайте представим, что мы можем складывать этот лист столько раз, сколько нам захочется. Так вот, если сложить лист газеты всего лишь 45 раз, то толщина слоев будет такой высокой, что достанет до Луны. Давайте разберемся, почему так про- изошло.

Пусть толщина газетного листа 0,001 см. Если сложить лист пополам, то его толщина удвоится, и будет составлять 0,002 см. И с каждым последующим сложением пополам толщина будет меняться в соответствии с последовательностью: 0,001 см, 0,002 см, 0,004 см, 0,008 см, 0,016 см, 0,032 см… Сложив лист пополам десять раз, мы получим толщину газеты в 1 см × 10 –3 ×2 10 или 1,024 см, то есть чуть более сантиметра. Нужно сложить 17 раз — не проблема — получаем 1 см × 10 –3 ×2 17 =131 см, рост среднестатистического хоббита.

Сложим в 25-й раз — и толщина странной конструкции, которую уже смело можно назвать ее высотой, достигнет33 554 сантиметров или 335 метров — что выше Эйфелевой башни. Задумайтесь, мы начинали с одной тысячной сантиметра и за 25 шагов уже достигли высоты Эйфелевой башни!Складываем тридцать раз — почти11 километров (1 см×10–3×230). На этой высоте летают самолеты! Сорок раз —почти 11 000 километров (1 см×10–3×240). Хьюстон, есть отрыв! На этой высоте вращаются на орбите спутники. Сложим 43-й раз — 87 961 км, 44-й — 175 921 км,45-й — уже 351 844 км.

Стоп! Мы уже достигли Луны! Если сложить лист газеты еще один раз, то сможем вернуться обратно на Землю! Такой тип роста называется экспоненциальным (экспонента — показатель степени). Его «взрывная» природа противопоставляется более «медленному» линейному и степенному росту. Последовательность чисел, полученная на примере с газетой, образует геометрическую прогрессию.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — числовая последовательность b1,b2,b3, …, в которой каждое следующее число, начиная со второго, образуется из предыдущего путем умножения его на определенное число q (знаменатель прогрессии). Приэтомb1≠0и q≠0, иначе просто получим последовательность нулей.

Обратите внимание, чтобы знать все о геометрической прогрессии, необходимы лишь три параметра: значение первого элемента b1, знаменатель прогрессии q и количество членов n. В примере с газетой первоначальная толщина листа выполняла роль первого элемента, а факт того, что при сложении листа газеты пополам его толщина удваивается, давал нам значениеq= 2. Учитывая то, что любой член прогрессии может быть представлен как b_n= b₁×q^(n–1)

Как и с арифметической прогрессией, иногда необходимо посчитать сумму всех элементов прогрессии. Проделаем небольшой трюк. Запишем уравнения следующим образом:

Таким образом, мы получаем формулу для расчета суммы конечного числа элементов геометрической прогрессии. Подумайте, как будет выглядеть формула при q=1

А что если элементов в прогрессии бесконечное количество?

Можно ли тог-да посчитать сумму такой прогрессии? Поведение геометрической прогрессии и ее суммы определяет знаменатель про-грессииq. И почти для всех значенийqнепроисходит ничего необычного, сумма бесконечного количества элементов геометрической прогрессии не приводит к чему-то конечному. То есть расходится, если говорить языком математиков. Однако случай, когда геометрическая прогрессия имеет бесконечное количество элементов и ее знаменатель меньше единицы (q< 1) представляет особый интерес.

Интуиция нам подсказывает, что сумма бесконечного количества положительных элементов должна, ну как минимум, быть бесконечной. Так ли это? Над этим вопросом размышлял древнегреческий философ Зенон Элейский, в дальнейшем эти размышления стали основой для так называемого парадокса дихотомии или парадокса деления надвое

Парадокс дихотомии

После продуктивного дня раздумий, Зенон решает прогуляться до парка, находящегося рядом с его домом. Предположим, что расстояние до парка один километр и Зенон идет со скоростью 1 км/ч. Сколько времени займет прогулка? Приведем рассуждения самого Зенона. Для того, чтобы дойти до парка, сначала нужно пройти половину пути — ½ километра, правильно? Это займет ½ часа. Как только он доберется до середины пути, ему нужно будет пройти половину оставшегося расстояния — ¼ километра. И это в свою очередь займет ¼ часа.

Далее он будет проделывать это опять и опять. И может продолжать так вечно. Итак, как долго Зенон будет идти до парка? Для того, чтобы ответить на этот вопрос нужно сложить все временные отрезки, которые были затрачены на каждый из частей его путешествия. Однако проблема в том, что таких частей бесконечное множество!

Обратите внимание, что каждый следующий член ряда увеличивает сумму последовательности:

То есть наша сумма с каждым следующим элементом увеличивается, а когда количество членов становится бесконечно большим, как в нашем случае, то сумма будет расти бесконечно. Следовательно, прогулка до парка займет бесконечное количество времени, иначе говоря, он никогда не дойдет до парка! В этом и заключается парадокс. С одной стороны, мы имеем дело с четким логическим обоснованием Зенона, который утверждает что любое движение невозможно, а с другой — мы можем встать и дойти до холодильника.

Первая мысль, которая возникает — абсурд! Но рассуждения Зенона занимали мысли математиков и философов тысячелетиями, что углубило понимание о бесконечности и непрерывности. Где  же ошибка в  логике Зенона? В рамках математической модели движения рассчитать время прогулки несложно. Действительно, время пути — это расстояние, деленное на скорость, следовательно, расчетное время прогулки — один час.

Как выяснят позже математики, бывают случаи, когда можно суммировать бесконечное количество элементов и получить при этом конечный ответ. То есть, как говорят математики, последовательность сходится. В нашем случае, бесконечная сумма временных интервалов равна (сходится к) одному часу.

Как мы уже заметили, бесконечная последовательность полученная Зеноном является геометрической прогрессией. И сумма этой прогрессии сходится. Обратили внимание на общий знаменатель прогрессии? Он равен ½. Оказывается при q>–1q<1 сумма бесконечной геометрической прогрессии сходится. Давайте вспомним формулу для конечной прогрессии и переделаем ее для бесконечного случая.

Подводя итог, обратите внимание на то, как выбор знаменателя прогрессии q определяет поведение геометрической прогрессии. От экспоненциального роста до экспоненциального убывания. От путешествия на Луну на листке газеты и до столь маленьких значений, что их сумма, пусть даже бесконечная, не имеет значения.