В будущем Карл стал одним из величайших ученых, заслужив неофициальный титул «Короля математики». А все началось с этого маленького открытия в школе. Так что же придумал Карл?
Дело было так. Учитель решил занять детей и заодно не-много отдохнуть. Он задал классу, по его мнению, очень трудное задание. Задание было следующим: посчитайте сумму всех чисел от 1 до 100.
Как бы вы посчитали такую сумму?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 96 + 97 + 98 + 100 = ?
В те времена, такие задачи решали методом «в лоб»: долго и нудно складывая все числа от 1 до 100. 1+2=3,3+3=6, 6+4=10 и так далее. И пока дети решали бы за-дачу, «грызли гранит науки», учитель надеялся немного отдохнуть. В зависимости от навыков сложения, кто-то справлялся быстрее, а кто-то медленнее, кто-то получал верный ответ, а кто-то — нет.
Каково же было удивление учителя, когда спустя всего несколько секунд, десятилетний Карл поднялся со своей скамьи, уверенным шагом прошел к учительскому столу и выложил на него листок бумаги, со словами: «вот решение». Карл показал листок, на котором было написано лишь одно число — 5050. Учитель не поверил, что возможно так быстро решить задачу и подумал, что паренек хочет над ним подшутить. Согласно легенде, мальчик за это получил нехилую взбучку (был такой варварский обычай в школах тех времен).
Но ответ был правильный и на вопрос учителя, о том, как Карлу удалось так быстро найти решение, мальчик ответил, что заметил закономерность. Сумма первого и последнего числа 1 и 100 равна 101, сумма второго и предпоследнего числа — 2 и 99 также равна 101. Карл заметил, что это справедливо для всех пар чисел заканчивая последней парой — 50 и 51. И всего таких пар от 1до 100 было 50. Таким образом, Карлу Гауссу осталось посчитать 50 раз по 101, иначе говоря, умножить 50 на 101 и получить конечный ответ — 5050!
А что если их больше 100?
Попробуем усложнить задачу. Предположим, что нам нужно посчитать сумму всех цифр от 1 до n, где n-любое натуральное число (их еще называют естественными числами, возникающими естественным образом при счете).
1 + 2 + 3 + … + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n =?
Получится ли решить такую задачу способом Гаусса? Оказывается, что да. Для удобства предположим, что число nчетное, так как сама постановка задачи о делении всех чисел на пары подразумевает, что их четное количество.
Заметьте, что сумма каждой пары равна n+ 1 и что количество таких парn/ 2. Нам остается лишь перемножить сумму каждой пары (n+ 1) на количество пар (n/ 2) по аналогии с задачей, с которой столкнулся Карл. Обозначим сумму буквой S.
S = (n+ 1)n2 (при условии, что n — четное натуральное число)
И единственное, что их объединяет с числами, которые суммировал Карл — это закономерность, связывающая соседние элементы между собой. Каждый следующий элемент получается из предыдущего путем прибавления одного и того же числа. Обозначим это общее для всей последовательности число как d и a n= a(n-1)+ d. Таким образом, каждый элемент последовательности можно представить так:
1, a1+ d, a1+ 2d, …, a1+ (n – 1)d, …
Мы только что дали определение арифметической прогрессии и d — разность прогрессии.
Как подсчитать такую сумму?
Оказывается логика, которой руководствовался Гаусс, верна и в этом случае. Для того чтобы это показать, нам нужно слегка модифицировать трюк Карла и разбить пары несколько иначе. Помня, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, обозначим сумму такой последовательности как S и запишем ее двумя зеркально разными способами.
Прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали. Так вот, все эти пары равны между собой. Как бы вы это показали?
Наш друг Карл заметил бы особенность таких пар: если начинать с первой пары (a1+ an), то в каждой следующей паре первое слагаемое пары увеличивается на d, тогда как второе уменьшается на d и, в конечном счете, сумма не меняется и равна (a1+ an). Учитывая, что таких пар n делим обе части равенства на два, получаем:
Получаем формулу суммы арифметической прогрессии. Если вспомнить, что любой элемент прогрессии выражается через первый элементa1и разность прогрессии — d, то можно переписать фор-мулу суммы следующим образом:
