Мы часто слышим красивое словосочетание «золотое сечение» в контексте искусства, архитектуры и даже биологии. Многие шедевры живописи выполнены при неукоснительном соблюдении золотой пропорции. Как же так получилось, что математическое соотношение стало синонимом слова «гармония», а некоторые математики древности называли его «божественной пропорцией»?
Все просто
Начнём с простейшей задачи: необходимо разделить отрезок так, что бы целое относилось к большей части, как большая часть к меньшей. Формально мы можем переписать условие следующим образом: дан отрезок AB = 1 (целое), необходимо отметить на ней точку С таким образом, что бы было верно соотношение AB:AC =AC:CB.
Обозначим отрезок AC через х, тогда отрезок CB = 1-x и выпишем исходное соотношение:
Мы получили квадратное уравнение, корнями которого будут:
Отрицательное значение не имеет геометрического смысла, значит ответом на поставленный вопрос будет: точка С должна находиться от точки B на удалении
В математике данное иррациональное число принято обозначать латинской буквой φ (фи), в честь древнегреческого скульптора Фидия (490–430 г.г. до н.э.), который применял это соотношение на своих статуях (самая знаменитая — Зевс Олимпийский, одно из чудес света), а значение обратное φ (то есть φ–1) принято обозначать Φ и оно равняется:
Обратите внимание, что Φ = φ–1 (проверьте самостоятельно). Что же в нем особенного?
Где я это видел?
Строение растений: задумывались ли вы о том, почему листья на деревьях расположены именно так, как они расположены? Существует целый раздел бота- ники, изучающий эти вопросы — филлотаксис. Строение многих растений подчинено закономерности, связанной с золотым сечением. Каждый новый лист на стебле расположен под углом 137.5 градусов (этот угол называют — золотым углом). Давайте разберёмся почему.
Пусть угол b = 137.5 градусов, тогда угол а = 360 — 137.5 = 222.5 градусов. Соотношение этих углов дает Золотое сечение:
Строение человека: если мы взглянем на то, как устроен наш скелет, то обнаружим, что части тела соотносятся между собой в пропорции золотого сечения. Это хорошо видно на рентгеновском снимке кисти человека: кости пальцев и фаланг имеют следующие длины 2, 3, 5, 8 см, приведённые числа подчинены соотношению золотого сечения (внимательный читатель увидит в этой последовательности числа Фибоначчи, ниже мы приведём доказательства взаимосвязи золотого сечения и этих чисел).
Более того, строение не только руки, но всего нашего тела, всех его частей соотносится между собой, как золотое сечение. Необходимо отметить, соотношение в примерах могут выполняться не всегда точно, но в большинстве случаев в среднем эти соотношения стремятся к золотому сечению. Неудивительно, что художники всех времён интуитивно соблюдали эти пропорции, так как они были естественными. Вы сами найдёте превеликое множество примеров работ художников, в которых используется золотое сечение. Сложно ответить, почему мы так часто встречаем эту пропорцию в природе. Биологи связывают это явление с процессом роста живых организмов (самоорганизации живых организмов), но теории, объясняющей этот процесс, пока не существует.
Все так просто
В XIII веке один из выдающихся математиков Европы Леонардо Пизанский, более известный нам как Фибоначчи, задался следующим вопросом: сколько будет кроликов через год, если изначально их была одна пара, а природа их такова, что любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц?
При решении этой весьма практичной задачи Фибоначчи заметил одну интересную закономерность. Ответ ниже, а о том, как мы и Фибоначчи к нему пришли, попробуйте решить сами. Фибоначчи заметил, что каждое последующее значение (количество) кроликов равно сумме двух предыдущих значений:
Fn=Fn-1+Fn-2
Забавный, на первый взгляд, вывод имеет отношение к золотому сечению. Но для начала вспомним, что изначально значение φ было получено, как корень квадратного уравнения x2+x-1=0. Которое мы можем преобразовать в x(x+1)=1, откуда следует x= 1 x+1 . Далее подставим вместо значения x в знаменателе выражение 1 x+1 и так далее:
Если брать х=1 в правой части дроби, то мы получим в итоге дробь, состоящую из отношения чисел Фибоначчи, в то же время это соотношение служит приближением золотого сечения, чем больше n, тем точнее приближение. Так как само значение золотого числа есть иррациональное число, а любое деление в этой пропорции может быть достаточно сложной процедурой. В этом случае нам как раз помогут числа Фибоначчи, которые уже указывают нам соотношение (причём в целых числах), например, золотым сечением числа 8 будет 3 и 5, числа 13 будет 5 и 8 и так далее.
Золотое сечение является одной из любимых тем мистиков и любителей загадок. Ведь, как было сказано выше, в природе оно встречается достаточно часто. Возможно, принцип самоорганизации материи (в том числе и живых существ) основан на принципах подобия её частей. Тогда не удивительна повсеместность золотого сечения.
Но ведь существуют и другие удивительные числа, которые вы сможете найти «везде», например число π, соотношение длины любой окружности к длине её диаметра. Математика — язык придуманный для описания Вселенной. Он не всегда отвечает на вопрос «почему?», а скорее: «как это происходит?». Закономерности вроде золотого сечения и числа π являются одними из множества красивых проявлений природы на языке математики.
