Почему число 2,718281828459045… особенное? Чем оно так приглянулось математикам, что его выделили среди бесконечного количества собратьев и даже наградили именной буквой — e? Выглядит оно не так уж броско, а ряд чисел после запятой длится бесконечно, то есть в жизни вы всегда имеете дело с его приближением. Как мы увидим далее, число e открывает путь к удивительно красивым решениям задач.

Неперово число

История числа e начинается в XVII веке в Шотландии. Иррациональная константа в неявном виде появляется в трудах Джона Непера, отсюда её второе имя — Неперово число. Неявном, потому что математик использует натуральный логарифм, но сама константа отсутствует. Именно с работ Непера начинается история логарифмов и их применения для сложных расчётов. Вскоре Эдмунд Уингейт и Уильям Отред создают первую логарифмическую линейку, которая становится незаменимым расчётным орудием инженеров. Она позволяет быстро производить все алгебраические операции, в том числе с тригонометрическими функциями.

Как получить константу е?

Значение константы e впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Клиент кладёт деньги в банк под некоторый процент при условии непрерывной капитализации — регулярного начисления процентов на общую сумму вклада. То есть банк начисляет проценты на внесённую сумму, затем проценты перечисляются на этот же самый счёт, увеличивая общую сумму депозита. И в следующий раз процент начисляется уже не на первоначальный взнос, а на общую сумму. Поэтому прибыль от такого вклада будет выше, чем от обычного, ведь деньги, полученные в качестве процента, не выводятся из капитала, а становятся его частью. Деньги делают деньги!

Рассмотрим задачу Бернулли в упрощённой форме: какую сумму денег можно получить, имея 1000 тенге и положив их в банк под 100% годовых? Если проценты выдаются лишь в конце года, к этому сроку банк выплатит 2000 тенге. Если же присоединять проценты к основному капиталу каждые полгода (дважды по 50%), то спустя шесть месяцев на счету в банке будет 1000 × (1 + ) = 1500 тенге, а спустя ещё шесть 1500 × (1 + ) = 2250 тенге. Если делать это раз в квартал (по 25% четыре раза), то:

Якоб Бернулли (1655–1705) — выдающийся математик, основоположник теории вероятности и математического анализа. Одно из своих открытий, логарифмичес- кую спираль, он завещал выбить у себя на надгробии с надписью EADEM MUTATA RESURGO («Изменённая, я вновь воскресаю»). Так Бернулли указывал на свойство спирали восстанавливать форму после любых преобразований. Но потомки по невежеству вместо логарифмической спирали изобразили Архимедову.

Если начислять процент ещё чаще, будет ли расти сумма денежных средств на счету? Вот тут мы сталкиваемся с парадоксом. Сумма будет увеличиваться, но никогда не превысит определённое число.

Число e в математическом анализе и финансах

Как запомнить значение константы е?

Обратите внимание, что после 2,7 следует дважды повторяющийся набор чисел 1828. Это год рождения русского писателя Льва Толстого. Далее следует набор цифр 45-90-45, которые можно запомнить как углы равнобедренного прямоугольного треугольника. В итоге вы можете без труда запомнить 16 цифр константы е.

Проверь сам:

В «домашних условиях» число e можно получить при помощи инженерного калькулятора, проделав следующие операции:

Рост беспорядка

Рассмотрим задачу, которая откроет нам ещё одно свойство константы e. Пусть числа от 1 до n расставлены в произвольном порядке — какова вероятность того, что ни одно из них не займёт место согласно своему номеру? Напомним, что вероятность наступления какого-либо события вычисляется как отношение интересующих нас исходов к количеству всех возможных событий. Сперва посчитаем количество всевозможных исходов — в нашем случае это количество различных способов перестановки чисел от 1 до n.

Из комбинаторики мы знаем, что это количество выводится как n × ( n – 1) × ( n – 2) × … × 2 × 1 = n ! (n-факториал). Например, для четырёх чисел существует 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 возможных комби- наций. В то же время нам надо выбрать те комбинации, в которых ни одно число не стоит на своём месте. Таких вариантов девять: 2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 4321. Искомая вероятность для n = 4 считается как отношение количества подходящих нам исходов к количеству всех событий: 9:24 = 0,375 = 37,5%. Обозначим эту вероятность для произвольного n как рn, количество подходящих в этом случае перестановок как An. Тогда формула для расчёта вероятности будет:

Подставим её в искомую формулу вероятности:

Прежде, чем попробуем посчитать эту сумму, давайте вспомним, как выглядит общая формулировка разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных вида (а+b)_ⁿ

В свое время этим опросом занимался Ньютон, а предложенное им решение носит его имя:

Во всех приведённых примерах мы рассматривали непрерывный рост чего-либо, будь то деньги, клетки или даже беспорядок. Но список явлений, которые можно описать, используя константу e, гораздо шире: это изменение давления с высотой, охлаждение тел, радиоактивный распад, скорость ракеты, колебания в радиоконтуре, расчёт вероятностей, зависимость электропроводимости от температуры, скорость химической реакции, распространение болезней, продажи книг. Число e — фундаментальная константа Вселенной. Можно даже сказать, что Вселенная работает по неизменным экспоненциальным законам.