Американский президент Теодор Рузвельт наставлял: «Не ошибается тот, кто ничего не делает. Не бойтесь ошибаться — бойтесь повторять ошибки». А чтобы не повторять, для начала надо их найти.

Цена ошибки

Бывает, что разницы между нерешённой задачей и задачей, решённой с ошибкой, нет. Например, если вы проходите тест, в котором правильный ответ «стоит» 1 балл, а неправильный 0 баллов, то неважно, выполнили вы задание с ошибкой или не выполнили вовсе. Но в жизни ошибки приносят гораздо больше вреда, чем отсутствие решения: именно из-за них падают спутники и рушатся дома. Не будь решения, спутник просто не запустили бы, а дома не стали бы строить. И когда ученик говорит, что «он же почти решил задачу, только чуть-чуть обсчитался», он, безусловно, в чём-то прав, но спутникам, увы, от этого не легче. Как же находить ошибки, особенно если их сделали лично вы? Дадим несколько советов.

1. ПРЕЖДЕ ЧЕМ ОТВЕЧАТЬ, ПРОЧИТАЙТЕ ВОПРОС

Совет кажется очень простым, и именно поэтому многие учащиеся им пренебрегают. Да что там учащиеся! В магазине, на улице, дома люди очень часто отвечают не на тот вопрос, который им задали. Вот пример.

Пете сейчас 10 лет, а Маше через два года будет столько же, сколько Пете было в прошлом году. Сколько сейчас лет Пете?

Забавно, что более 20% школьников ошибаются, решая эту задачу. Правильный ответ «10», а не «7», ведь вопрос был о возрасте Пети, а не Маши. Вы, конечно, не сделали такую ошибку, потому что уже ознакомились с нашим первым советом. В оправдание ученики обычно говорят: «Ну очевидно же, что хотели спросить про возраст Маши». Ничего подобного. Отвечайте на поставленный вопрос — и точка. Вы замечали, что во многих интеллектуальных играх участ- ники просят ведущего повторить вопрос? Отчасти это уловка, направленная на то, чтобы выиграть немного времени, но прежде всего это нужно для проверки ответа.

Кстати, важный нюанс. Нередко для решения задачи необходимо ввести переменную — попытайтесь обозначать через X то, о чём спрашивают. Легко ошибиться, найдя промежуточное значение переменной в сложном уравнении и на радостях сразу же записав его в ответ.

2. ПРОВЕРЯЙТЕ ОТВЕТ НА АДЕКВАТНОСТЬ

Речь идёт о логике и здравом смысле. Например, если в решении вы получили ответ типа «полтора землекопа», следует насторожиться. Вот неполный список таких сигналов: нецелое количество людей или предметов, отрицательные значения заведомо положительных величин вроде пройденного пути, скорости. Рассмотрим, например, задачу:

В семиэтажном доме несколько подъездов, в каждом подъезде на каждом этаже по четыре квартиры. Квартиры нумеруются с первой, которая находится на первом этаже первого подъезда. На каком этаже находится квартира No 41?

А пока мы решаем уравнение, суть задачи забывается, поэтому отрицательное расстояние или нецелое число людей нас зачастую не удивляет. Хорошо бы подумать об ответе заранее. Допустим, если спрашивают о скорости велосипедиста, значит, в ответе должно быть положительное число, которое вряд ли превосходит 60.

3. ПРОВЕРЯЙТЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА АДЕКВАТНОСТЬ

Есть такой старый анекдот. Учительница спрашивает класс, сколько будет дважды два. Дети называют числа от трёх до шести, а Вовочка выкрикивает: «Десять!» Учительница реагирует: « Вовочка, ты не прав. Дважды два — это четыре, в крайнем случае пять или шесть, но никак не десять!» Действительно, ответ в вычислениях нередко получается неадекватным, но уже с арифметической точки зрения. Выделим два способа относительно быстро это выявить.

3.1. ОЦЕНКА ПОРЯДКА ВЕЛИЧИНЫ

Допустим, мы хотим умножить 123 на 456. Умножали-умножали и получили 532 678. Верный ли это ответ? Разумеется, нет. Это легко доказать: когда мы умножаем 100 на 400, то получаем 40 000. Числа в примере больше, но не настолько, чтобы изменить результат на порядок, верно? Так что 500 000 — это слишком много. Такое рассуждение строгим не назовёшь. Корректно было бы делать не округление, а оценку. Сказать, например, что первый множитель меньше 200, а второй — 500, значит, произведение будет меньше 100 000 и тем более 532 678. Но когда мы проверяем вычисления, мы не обязаны подробно и корректно обосновывать наличие ошибки — достаточно понять, что она есть. Для этого хватит и округления.

Тем не менее осторожность не будет лишней. Например, может ли произведение 123 и 456 быть равным 50 348? Если округлить до 100 и 400, получится 40 000, вроде бы мало. Но мы же и округляли «вниз», так что реальное произведение вполне может быть на десять с лишним тысяч больше. С помощью такой грубой прикидки отлавливаются ошибки на порядок, но не на 10–20%. Впрочем, если пользоваться округлением как неравенством, то иногда можно производить и более точные расчёты.

Если округлить все слагаемые левой части «вверх», то получим 2000, 3000 и 4000 соответственно. Их сумма составляет 9000, что почти равно правой части. Значит, равенство возможно? Ничего подобного, ведь мы округляли «вверх», то есть левая часть точно меньше 9000, а правая — больше. Впрочем, чаще эта идея используется для выявления более грубых ошибок.

Разумеется, нет. Произведение 34 и 47 можно округлить до произведения 30 и 50, то есть 1500. Значит, искомый результат будет в районе 2000, но никак не 12 000. А что делать, если ответ похож на правду? Тогда пора приме- нить (впрочем, с этого можно и начать) идею No 2.

3.2. ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА

Несложно доказать, что если в примере нет деления, то последнюю цифру ответа можно вычислить в результате действий с последними цифрами чисел в исходном выражении. Мы не будем подробно обосновывать это утверждение, обозначим лишь идею: достаточно доказать, что на последнюю цифру суммы влияют лишь последние цифры слагаемых, аналогично с разностью и произведением. Так или иначе, последняя цифра результата считается очень быстро, и если она не совпадает с полученной, где-то есть ошибка.

Рассмотрим тот же пример, что и в прошлый раз, но поменяем правую часть. Теперь мы не ошиблись на порядок, но последняя цифра не та! Действительно, произведение 34 и 47 должно оканчиваться на 8 (так как на 8 оканчивается произведение их последних цифр), а после прибавления 295 в конце будет 3 (на 3 оканчивается сумма последних цифр: 8 и 5). Значит, правая часть должна оканчиваться на 3, а это не так. Таким образом, где-то допущена ошибка. Поскольку число 1807 получилось после вычисления по действиям, с помощью последней цифры можно проверить каждое из них и понять, где именно совершили ошибку.

Значит, результат должен оканчиваться на 1, ведь сумма 4 и 7 оканчивается на 1. Логично? Вроде бы да. Проблема только в том, что в данном случае ответ верен! Если хотите, можете убедиться
сами. А заодно попытайтесь догадаться, почему не сработал метод. Конечно! Всё дело в делении. Недаром в начале этой главки была оговорка: «Если в примере нет деления».

Например, 18 : 2 = 9.

То есть ответ оканчивается отнюдь не на 4. Тем более когда мы делим 27 на 3 — результат деления 7 на 3 вообще не целый. Так что с делением идея, увы, не работает. А вот с вычитанием запросто, хотя и с небольшой оговоркой.

Произведение 321 и 475 оканчивается на 5. Затем мы из 5 вычитаем 8… Получается, что результат должен оканчиваться на –3? Разумеется, нет. В такой ситуации можно просто добавить к уменьшаемому 10, так как это не влияет на последнюю цифру. А уже из 15 мы можем вычесть 8, и получится 7. Значит, ответ 117 023 неверен.

Кстати, обратите внимание, что здесь сработала бы и идея 3.1. Что быстрее, решать вам.

Ещё одно важное замечание. Оценить верность равенства по последней цифре довольно легко, но столь же быстро разобраться с предпоследней цифрой, особенно в длинном примере с умножением, не получится. Так что не спешите обобщать! В известной притче Сократ рекомендовал каждому просеивать свой рассказ через три сита: правды (правда ли то, что ты говоришь?), доброты (хорошо ли ты говоришь о другом человеке?) и пользы (принесёт ли кому-то пользу то, что ты говоришь?). Только что каждый из вас увидел другие три сита, через которые стоит просеивать любое решение. И тогда, хочется верить, вы будете делать не намного больше ошибок, чем Сократ!