Безграничная любовь, безмерное счастье, необъятный космос, вечная мерзлота, безбрежный океан и даже нескончаемый урок. В жизни мы часто называем вещи и явления бесконечными, но часто даже не задумываемся об истинном значении этого понятия. Между тем, с самых древних времён теологи, философы и другие величайшие умы человечества пытались понять её смысл. И только математики дальше всего продвинулись в знаниях о том, что называют бесконечностью.
Многое из того, что мы видим вокруг себя, воспринимается нами как бесконечность, но на проверку оказываются вполне конечными вещами. Вот как иногда объясняют детям, насколько велика бесконечность.
«Если на огромном пляже собирать по одной песчинке каждые сто лет, то понадобится вечность, чтобы собрать весь песок».
Но, на самом деле, количество песчинок не бесконечно. Физически их пересчитать невозможно, зато с уверенностью можно сказать, что их количество не превышает величины, равной отношению массы Земли к массе одной песчинки.
Бесконечность в математике
В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность. Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечна потенциально, то имеют в виду, что она может быть неограниченно увеличена, то есть всегда имеется потенциальная возможность её наращивания. Понятие актуальной бесконечности означает бесконечную величину, которая уже реально существует «здесь и сейчас». Поясним это на примере обычной прямой.
Пример 1
Потенциальная бесконечность означает, что есть прямая и её можно непрерывно продолжать (например, прикладывая к ней отрезки). Обратите внимание, здесь делается акцент не на то, что прямая бесконечна, а на то, что её можно бесконечно продолжать. Актуальная бесконечность означает, что в настоящем времени уже существует вся бесконечная прямая. Но беда в том, что ни один живой человек не видел бесконечной прямой и физически не в состоянии это сделать!
Одно дело — иметь возможность бесконечно продлевать прямую, и совсем другое в реальности создавать бесконечную прямую!
Пример 2
Предположим, вы решили построить ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10… В какой-то момент вы дошли до очень большого числа n и считаете, что это самое большое число. В этот момент ваш друг говорит, что ему ничего не стоит к вашему числу n добавить 1 (единицу) и получить еще бóльшее число k = n + 1. Тогда вы, слегка уязвлённый, понимаете, что и вам ничего не может помешать добавить к числу k единицу и получить число k + 1.
Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у вас с другом может не хватить сил, времени на каком-то шаге для того, чтобы сделать следующий шаг m + 1, но потенциально вы или кто-то другой может дальше строить этот ряд. В этом случае мы получаем понятие потенциальной бесконечности. Если же вам с другом удастся построить бесконечный ряд натуральных чисел, элементы которого присутствуют все сразу, одновременно, это будет актуальной бесконечностью. Но дело в том, что никто не может записать все числа — это неоспоримый факт! Согласитесь, что потенциальная бесконечность для нас более понятна, потому что её легче вообразить. Поэтому античные философы и математики признавали только потенциальную бесконечность, решительно отвергая возможность оперировать с актуальной бесконечностью.
Парадокс Галилея
В 1638 году великий Галилей задался вопросом: «Бесконечно много — это всегда одинаково бесконечно много? Или могут быть бо́льшие и меньшие бесконечности?». Он сформулировал постулат, который был упомянут в предыдущей статье о парадоксах. Этот постулат впоследствии получил название «Парадокс Галилея». Напомним: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… Суть парадокса заключается в следующем. Некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других чисел), например: 1, 4, 9… Другие же числа не являются точными квадратами, например, 2, 3, 5.
Значит, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Но с другой стороны: для каждого числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Рассуждения Галилея вступили в противоречие с неоспоримой аксиомой, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей. Он не смог ответить, какая бесконечность больше — первая или вторая. Галилей полагал, что либо он в чём-то ошибался, либо такие сравнения не применимы для бесконечностей. В последнем он был прав, поскольку три столетия спустя Георг Кантор доказал, что «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».
Счётные бесконечности: часть равна целому
Немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) разработал теорию множеств, которая легла в основу не только современного математического анализа, но и стала причиной переосмысления логических основ математики. Кантор ввёл понятие «мощности» для бесконечных множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику. Его работа даёт ответы многим философским вопросам.
Георг Кантор, основоположник теории множеств, стал использовать в математике актуальную бесконечность. Он допускал, что бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции и даже сравнивать. Поскольку слова «число» и «количество» в случае с бесконечностями неуместны, он ввёл термин «мощность». За эталон Кантор взял бесконечные натуральные числа, которых хватит для пересчёта чего угодно, назвал это множество счётным, а его мощность — мощностью счётного множества и стал сравнивать её с мощностями других множеств. Он доказал, что множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество чётных чисел! Действительно, запишем друг под другом.
На первый взгляд кажется очевидным, что в первом множестве чисел в два раза больше, чем во втором. Но, с другой стороны, ясно, что вторая последовательность тоже счётна, так как любому её числу всегда соответствует строго одно число первой последовательности. И наоборот! Так что вторая последовательность не может исчерпаться раньше первой. Следовательно, эти множества равномощны! Аналогично доказывается, что множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилея) — счётно и равномощно множеству натуральных чисел. Отсюда следует, что все счётные бесконечности равномощны. Получается очень интересно:
Множество чётных чисел и множество квадратов натуральных чисел (из парадокса Галилео) — являются множеством натуральных чисел. Но при этом они равномощны. Следовательно, часть равна целому!
Несчетный бесконечности
Но не всякую бесконечность можно пересчитать так, как это сделали мы с чётными числами и квадратами натуральных чисел. Оказывается нельзя пересчитать точки на отрезке, действительные числа выражающиеся всеми конечными и бесконечными десятичными дробями, даже все действительные числа от 0 до 1.
В математике говорят, что их количество несчётно. Рассмотрим это на примере последовательности дробных чисел. Дробные числа обладают свойством, которое отсутствует у целых чисел. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 8 и 9 «не поместится» никакое другое целое число. Но если мы добавим к множеству целых чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число
будет находиться между 8 и 9. Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми двумя числами A и B:
Поскольку это действие можно повторять бесконечно, то между двумя любыми действительными числами всегда будет располагаться бесконечно много других действительных чисел. Таким образом, бесконечность действительных чисел является несчётной, а бесконечность натуральных чисел — счётной. Эти бесконечности неэквивалентны, но из несчётного множества действительных чисел всегда можно выделить счётную часть, например, натуральные или чётные числа. Поэтому несчётная бесконечность мощнее счётной бесконечности.
