Начнём с того, что вспомним определение повествовательного предложения. В алгебре высказываний повествовательные предложения — это основные понятия, и называются они логические высказывания. В обычной жизни в повествовательном предложении нас интересует его смысл и содержание (например, что яблоко красное, а не зелёное), а в алгебре высказываний эти предложения рассматриваются только с точки зрения их истинности или ложности (действительно ли яблоко красное). Но обо всём по порядку.
Алгебра высказываний(алгебра логики) —раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.
Повествовательное предложение сообщает о каком-либо факте, действии или событии, либо содержит их отрицание. Например: «Это яблоко красное». «Это яблоко не красное»
Что такое логическое высказывание?
Как мы уже говорили, любое логическое высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно сказать истинно оно или ложно, но оно не может быть одновременно истинным и ложным. Как правило, любое логическое высказывание описывает свойства или состояние объекта (Лето было дождливым. Я был рад встретить старого друга.) или утверждает что-то об отношениях между объектами (Лев крупнее тигра. Тимур и Руслан — друзья). Логические высказывания (далее просто высказывания) обычно обозначаются латинскими буквами A, B, C и т. д. Если высказывание истинно, то его значение равно 1 , если ложно — оно равно 0 (нулю).
Пример 1
•A=«Париж — столица Франции»
•B = «2+3 = 2*3»
•С=«Луна вращается вокруг Земли»
Высказывания A и C являются истинными, высказывание B — ложным, то есть: A = 1, B = 0, C = 1.
Пример 2
Какие предложения являются высказываниями?
•Давай, убери свою комнату.
•Приходи сегодня на стадион играть в футбол.
•Зачем ты выкинула эту игрушку?
•Где находится школа?
В отношении этих предложений невозможно сказать, истинны они или ложны. Не являются высказываниями повелительные и вопросительные предложения, потому что они не обладают свойством быть истинным или ложным.
Пример 3
Являются ли высказываниями следующие предложения?
•2x + 8 > 20. •Завтра я сдам экзамен по математике на «отлично»! •Черепахи не летают, потому что холодильник закрыт. •Я — сладкоежка, значит я люблю кататься на лыжах.
Являются ли они высказываниями? На первый взгляд — да. Но невозможно определить, истинны они или ложны. Чтобы понять истинно или ложно первое высказывание, необходимы дополни-тельные сведения. Вот если бы было написано так: «2х+8>20, при х > 6», то это было бы логическим высказыванием. О втором высказывании также нельзя сказать, истинно оно или ложно, потому что оно неопределённо и зависит от воли случая.
Можно хорошо подготовиться, но если попадётся сложный билет или будет строгий экзаменатор, то можно получить и «тройку». А можно выучить только один билет, и, если тебе повезёт — попадётся именно он, тогда ты получишь «пятёрку». Ну а высказывания под номерами3 и 4 — вообще бессмысленны, что также не позволяет назвать их логическими высказываниями. Логическими высказывания-ми также не могут быть бессмысленные предложения, а также высказывания, в которых присутствует неопределённость или недостаток информации. Логические высказывания бывают простыми и сложными. Высказывание называется простым (элементарным), если оно является неделимым и никакая его часть сама не является высказыванием.
Пример 4
Даны два простых неделимых высказывания: ОТЕЦ СТАРШЕ СЫНА ОТЕЦ МЛАДШЕ ДЕДА
Эти два высказывания можно объединить в одно: «Отец старше сына, но младше деда». Получилось сложное высказывание. Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых высказываний.
Операции над высказываниями
Теперь рассмотрим операции, которые можно проводить с высказываниями.
Операция 1: Инверсия
Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «НЕ» (или использования оборота речи «НЕВЕРНО, ЧТО…»)
Обозначение: Ā (или ¬А)
Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
Пример
Дано высказывание —
А = Я ВЧЕРА КАТАЛСЯ НА ВЕЛОСИПЕДЕ. Тогда его инверсия — B = Я ВЧЕРА НЕ КАТАЛСЯ НА ВЕЛОСИПЕДЕ. •Если А=0 (ложно, т.е. вы лукавите, когда говорите, что катались на велосипеде), тогдаĀ=1 (истинно, и вы действительно не катались на велосипеде).
•Если А=1(истинно, т.е. вы действительно катались на велосипеде), тогдаĀ=0 (ложно, т.е. вы говорите неправду).
Операция 2: КОНЪЮНКЦИЯ
Конъюнкция (логическое умножение) — это объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «И» (а также союзов «А», «НО» ) Обозначение: А×В (или А^В)
Сложное высказывание, образованное в результате импликации, ложно тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно и истинно во всех остальных случаях.
Пример Даны два простых высказывания: А = ПАПА ПОЧИНИТ ВЕЛОСИПЕД В = Я БУДУ КАТАТЬСЯ НА ВЕЛОСИПЕДЕ
Тогда, в результате импликации этих высказываний, получим новое высказывание A=>B = Если папа починит велосипед, то я смогу на нем кататься. В каких случаях это высказывание истинно?
•Однозначно, что если папа починит велосипед (А = 1),то вы сможете на нем покататься (В = 1). Следователь-но ,A=>B = 1 (истинно).
•А можете и не кататься (расхотели). Тогда В=0, и A=>B =1
•Очевидно и то, что, если папа не починит велоси-пед (А = 0), то вы никак не сможете на нем покататься(В=0). В этом случаеA=>B=1(истинно).
•При этом не может быть, что если папа не починит вело-сипед (А = 0), то вы сможете на нем покататься(В=1). В этом случае A=>B = 0 (ложно)
Операция 5: ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
Эквиваленция (логическое равенство) — это объединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи «тогда и только тогда, когда». Обозначение: А <=>В. Означает, что А равносильно В.
Тогда, в результате эквиваленции этих высказываний, получим новое высказывание А<=>В = Мама сказала, что я буду кататься на велосипеде тогда и только тогда, когда сделаю уроки. Говоря так, мама подразумевает, что: либо произойдет и тои другое (А = 1, В = 1, А <=>В = 1), либо ни того, ни другого не будет(А = 0, В = 0, А <=>В = 1).
Других вариантов мама не предлагает. Не верите? Попробуйте сформулировать высказывание А <=>В таким образом, чтобы А =1 и В = 0 (в этом случае оно не устроит маму) или А = 0и В = 1 (в этом случае оно не устроит вас).
