Да, тот самый ноль (или нуль — оба варианта правильны), который мы обозначаем знаком, похожим на букву «О», без него немыслима современная математика и десятичная система счёта. Нам, живущим в XXI веке, кажется, что ноль существует так же давно, как и само человечество. На самом деле ноль появился относительно недавно.
Непозиционные системы счёта
Развитие математики идёт нога в ногу с развитием человечества. Математика началась с самого простого, с того, что первобытному человеку понадобилось нечто, чем он мог бы обозначать количество предметов. Например, охотник, чтобы объяснить другому охотнику, что видел «трёх мамонтов в двух днях ходьбы, возле пяти скал» использовал жесты и пальцы рук. Но вскоре эти жесты получили конкретные письменные обозначения — так появились первые числа. Как вы сами догадываетесь, первобытным людям незачем было использовать понятие ноль.
Ведь «ноль мамонта» или «ноль скал» в природе нет. То есть число ноль было невостребованным в древние времена.
Время шло и человечеству понадобилось всё больше и больше чисел. Если раньше для обозначения стада из восьми коров, люди делали восемь чёрточек, то, когда их количество достигло, например, ста, для удобства счёта люди начали объединять объекты в группы по 3, 5, 7 и 10. Такая группировка упрощала счёт. Анатомия рук человека, а именно то, что мы имеем по пять пальцев, стала основой для популярности групп по 5 и 10. Далее люди начали группировать десятки по десяткам (так появились сотни), сотни по десяткам (так появились тысячи) и так далее. Для обозначения их тоже придумали специальные символы (числа). Например, в древнем Египте использовали следующие символы.
Любые другие числа записывались путём повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от 1 до 9 раз. Например, число 4622 обозначалось следующим образом:
Обратите внимание! Не важно, в какой последовательности расположены символы, в итоге, у вас всегда получится ровно 4622. Подобные системы счёта называют непозиционными, так как расположение цифр (позиция в записи) не имеет значения. Первые системы счёта были непозиционными. Как видите, в этих системах, как правило, не требовалась цифра ноль.
Позиционные системы счёта
Недостатки непозиционных систем счёта — их громоздкость и непрактичность. Например, представим запись двух чисел 3000 и 2998. Эти числа отличаются только на две единицы и в привычной нам арабской записи эти числа займут одинаковое место в тетради, но давайте посмотрим, как они будут выглядеть в непозиционной древней египетской записи.
Как же люди решили эту проблему? Чтобы ответить на этот вопрос, перенесёмся в древний Вавилон. Тут произошло одно очень значимое для математики событие — была открыта позиционная система счёта. Вавилонские математики рассудили, что для обозначения всех чисел им достаточно будет только два символа: первый — стоячий клин для обозначения единиц, и второй —лежачий клин для обозначения десятков (они использовали шестидесятеричную систему счисления, ниже мы объясним как это работает). Давайте разберёмся, как они пришли к этой простой идее. Для начала вспомним, что люди при счёте стремились группировать объекты: десятки десятков — это сотня, десятки сотен — это тысяча и так далее.
Вавилонским математикам было удобно группировать по 12 объектов, но в 5 групп (помните про количество пальцев?), так появилась шестидесятеричная система счисления (12×5 = 60). Почему они выбрали за основу счёта 60, вместо, казалось бы, удобных нам 10? Кстати, мы тоже используем эту систему при измерении времени (60 минут — это 1 час и так далее). Из-за удобства, ведь 60 можно разложить на большее количество множителей (2×2×3×5 = 60), чем 10 (2×5 = 10). Так как же выглядели вавилонские числа?
Как, например, вавилонцы записывали числа 62? Давайте попробуем разобраться. Число 62 имеет вид:
Заглянем в таблицу, по ней видно, что эта запись имеет для нас такой смысл — «1 2». Как же так? Ведь мы имели ввиду число 62. Не торопитесь, всё верно, только нам следует обратить внимание на пробел между этими цифрами и вспомнить, что, в зависимости от позиции, цифры могут нести дополнительный смысл. Так вот, крайняя левая «единица» показывает число полных групп, в нашем случае это означает, что в числе есть 60 единиц, далее следует 2. В итоге:
означает 1×60 + 2 = 62. Всё просто. Но как случайно не спутать число 2 с числом 61?
Визуально они не сильно отличаются друг от друга (не каждый разглядит пробел). Сначала вавилонцы мирились с этой проблемой и должны были догадываться из контекста задачи, о каком числе идёт речь. Но, в итоге, нужно было заменить эту пустоту неким символом, так появился ноль.
Индийский след
Цифра ноль пришла к нам вместе с арабскими цифрами, которые в свою очередь попали к арабским математикам из Индии. Первое изображение ноля выглядело как кружок, чуть меньший по размеру, чем прочие цифры — его нашли в записи числа 270, которое было изображено в 876 году на стене индийского города Гвалиора.
Позже индийские математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара писали, что если из одного числа вычесть его же, то получится ноль. Это и есть знакомое нам определение числа ноль, то есть ноль — это не понятие отсутствия числа, а число и он стал использоваться в расчётах. Теперь всего десятью цифрами можно было записать любое, даже самое большое число. Это была революция в математике. Сперва цифру ноль называли индийским словом «сунья» («пустое»). Арабы перевели это как «сыфр» , от которого и произошло слово «цифры» . Но даже узнав о «восточной диковинке» (ноле), европейские учёные долго не решались использовать её — ведь это число ничего не исчисляет!
Итальянский математик Леонардо Фибоначчи одним из первых заинтересовался индийской системой счёта, и это позволило ему сделать ряд важнейших открытий и закономерностей. Но его пропаганда столь удобного способа записи и счёта не возымела особого действия на средневековых учёных. И даже в XVI веке математики продолжали всячески избегать ноля, упорно придерживаясь античной системы счёта и полагаясь на счётные доски.
Однако, как показала практика, ноль был таким же решающим прогрессивным изобретением, как и колесо. Эту простую и удобную систему сразу же оценили банкиры и купцы, которые считали вполне реальные деньги, а не извлекали воображаемые корни из воображаемых чисел в пыльной библиотеке. Уже в XV веке простой, неучёный люд считал с помощью индийских цифр, опережая учёные умы на столетия. Окончательно же десять знаков, включая ноль, утвердились в европейской науке лишь к началу XVIII века.
Есть два способа использования ноля и оба — очень важные
Первый – ноль указывает пустой разряд в нашей десятичной позиционной системе счисления. Второй способ использования ноля – это число, которое мы обозначаем 0.
Последние два свойства ноля заслуживают особого внимания. Любой взрослый ещё со школы помнит, что на ноль делить нельзя. Почему нельзя — обычно никогда не объясняют. Просто нельзя и точка! Ну нельзя, значит, нельзя. Давайте сами разберёмся. Предположим, что можно делить на ноль. Разделим любое число на ноль: 7 : 0 = х. Следовательно, 0 × х = 7.
То есть, надо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 7. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Значит, такое число просто не существует. То есть, наша задача не имеет решения, а сама запись не имеет смысла. Поэтому бессмысленность этой записи кратко выражают фразой: «На ноль делить нельзя».
А можно ли ноль делить на ноль? Опять предположим, что можно: 0 : 0 = х
Следовательно, 0 × x = 0 , и это уравнение благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 × 0 = 0 . Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 × 1 = 0 . Значит, 0 : 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 518 и т. д. Мы не можем остановить свой выбор на каком-то одном числе и сказать, что именно ему соответствует запись 0 : 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что ноль на ноль тоже делить нельзя.
