Все мы любим играть. Более того, мы любим выигрывать. Но как это сделать, ведь соперник тоже стремится к победе! Выигрыш зависит от опыта, мастерства, природного таланта игрока. И от удачи, конечно, — в разных играх в разной степени. Но есть кое-что, объединяющее почти всех профессионалов, о какой бы игре ни шла речь, — знание выигрышных стратегий. Они применимы хоть к шахматам, хоть к «Доте-2».

Стратегия — это обобщённый план действий в разных ситуациях, возникающих в игре. Например, в футболе можно, получив мяч, сразу передать его игроку, находящемуся максимально близко к воротам соперника. В шахматах — копировать ход противника, то есть действовать симметрично. Полагаем, суть вы уловили. Ну а выигрышной будет стратегия, которая приводит к победе. Конечно, в футболе составить гарантированно выигрышный план действий сложно: слишком много случайных факторов. Но в других играх это возможно. Разберём стратегии, которые кажутся выигрышными.

Можно ли обыграть казино?

В играх на деньги люди особенно упорно стремились найти выигрышную стратегию. Одна из них называется мартингейл. Как мы убедимся далее, в теории она гарантирует игроку выигрыш, но именно в теории. Проиллюстрируем на примере самой популярной азартной игры в казино — рулетки. Если вкратце, правила таковы: крупье запускает рулетку и бросает на неё шарик. Рулетка представляет собой круг, разделённый на сектора-ячейки с номерами от 0 до 36. Ячейки окрашены в чёрный и красный цвета и чередуются, но есть одна зелёная — с зеро.

Игроки делают ставки, пытаясь угадать параметры ячейки, в которой окажется шарик: число, цвет, чётность/нечётность. Сделаем два допущения: во-первых, мы можем бесконечно повышать ставки; во-вторых, в случае победы казино вернёт наши деньги и заплатит столько же сверху. Удивительно, но нам абсолютно неважно, на что делать ставку: на цвет или чётность. Важно, как мы будем это делать. Начнём со ставки в один доллар на любой цвет — скажем, красный. Выиграли — хорошо, заработали доллар. Проиграли — ставим два снова на красное. Теперь победа принесёт четыре доллара, а чистая прибыль (за вычетом расходов) составит доллар. Если снова проиграли, ставим четыре на красное. Опять же, победа приносит восемь долларов — вычитаем из них вложенные семь, получаем доллар прибыли. И так далее. Рано или поздно красное выпадет, так что мы в любом случае выиграем свой доллар. И снова за игру! Курочка по зёрнышку… В любом случае вы останетесь в плюсе.

Прежде чем бежать в казино, подумайте: если бы эта схема работала, все игорные дома давно бы разорились. Но они почему-то открыты. И не потому, что там запрещают подобную стратегию. Проблема в другом: мартингейл сулит выигрыш в теории, а что происходит на практике?

Почему казино всегда в выигрыше?

• У вас может просто не хватить денег. Что, если красная ячейка не выпадет 10 раз подряд? Тогда ваша ставка должна быть 2¹⁰=1024 доллара. То есть чтобы вы- играть один (!) доллар, вы должны располагать несоизмеримо большей суммой. И кстати, в начале ХХ века был случай, когда в одном из казино Монте-Карло чёрное выпало 26 раз подряд.
• Как правило казино ограничивает ставки. Например, за конкретным столом разрешено ставить до 10 долларов. Как вы понимаете, в этом случае испытать удачу можно лишь четыре раза: 1, 2, 4, 8 долларов— и всё. Не повезло — 15 пропали. Зато в случае удачи мы заработаем целый доллар!
• Казино всегда выигрывает. Это не просто красивая фраза, а вполне себе математически обоснованное утверждение. Давайте-ка посчитаем ожидаемый средний выигрыш (он ещё называется математическим ожиданием):

Белые начинают и выигрывают

Теперь поговорим о самой популярной настольной игре — шахматах. Среди шахматистов и не только распространено мнение, что у того, кто играет белыми фигурами, есть преимущество из-за права первого хода. Это подтверждается статистикой, накоплен- ной с 1851 года: белые выигрывают в 52–56% случаев. И всё же эксперты объясняют такой результат психологическим эффектом — иного преимущества право первого хода не даёт. Но существует ли вообще выигрышная стратегия в шахматах?

Ответить на этот вопрос поможет математика. Выдающийся немецкий учёный Эрнст Цермело доказал теорему, согласно которой на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка, что множество будет вполне упорядоченным.

Эта важнейшая теорема в теории множеств стала основой для другой идеи Цермело. В 1912 году он доказал, что рациональные шахматисты могут использовать всю информацию, чтобы разработать выигрышную стратегию, причём как для белых, так и для чёрных. Но это доказательство существования стратегии, а в чём именно она состоит, нам неизвестно. Давайте рассмотрим в качестве примера игру шахматные двухходовки, весьма популярную у юных шахматистов. Суть её проста: каждый делает по два хода вместо одного.

Остальные правила такие же, как в обычных шахматах, за исключение шаха, но для нас это не имеет значения. Попробуем выяснить, есть ли в этой игре выигрышная стратегия для чёрных (того, кто ходит вторым). Её нет, и это можно доказать. Пойдём от противного: пусть выигрышная стратегия у чёрных есть. Стало быть, независимо от действий белых, чёрные могут выиграть. Хорошо, запомним это, а теперь давайте «превратим» белых в чёрных.

Допустим, белые начали игру с хода коня b1 — c3, а вторым ходом вернули его обратно. По сути, теперь роли поменялись: позиция осталась, какой была, а право хода принадлежит чёрным. Таким образом, белые стали чёрными, и у них есть выигрышная стратегия. Но это противоречит предположению, что чёрные могут гарантированно победить! Значит, исходная гипотеза не верна, и у чёрных выигрышной стратегии нет. Заметим, что это не противоречит выводам Цермело, ведь он рассматривал игру, в которой игроки делают по одному ходу. А что в двухходовке? Верно ли, что белые всегда побеждают, если играют разумно? Или что всегда будет ничья? Ни то ни другое.

Пока мы знаем лишь, что чёрные не могут гарантировать себе победу. А существует ли выигрышная стратегия для белых, неизвестно. Если существует, то да, всегда будут выигрывать белые. Если нет, всегда будет ничья.

Напомним: «всегда» — это если обе стороны играют правильно, делая оптимальные ходы. А оптимальная стратегия может включать десятки точных ходов, запомнить которые под силу не каждому игроку. При этом в шахматной двухходовке конечное количество ходов, а значит, имея достаточно мощный компьютер, можно просчитать все исходы игры и проверить, есть ли у белых стратегия гарантированного выигрыша.

Прежде всего стратегии

Теперь рассмотрим другую классическую в своём роде игру. Перед двумя игроками лежат 20 палочек. За ход можно взять одну, две или три соседние. Если между палочками образовалось пустое место, то условие о соседстве не выполняется и взять их за один ход не получится. Кто не может сделать ход, проиграл — побеждает тот, кто забирает последнюю палочку. Как же одержать верх в такой игре, да ещё и гарантированно? На первый взгляд вариантов развития игры так много, что их не просчитать.

На самом же деле тот, кто начинает, всегда может обеспечить себе победу. Для этого он первым ходом берёт две палочки из середины: десятую и одиннадцатую. Теперь второму игроку предстоит выбирать из двух одинаковых половинок по 9 палочек. И дальше первый игрок будет симметрично копировать ходы второго — вот и вся стратегия! Второй взял палочки No 2, 3, 4. Хорошо, первый берёт No 17, 18, 19. И снова получились две одинаковые половинки! Да, с дырками внутри, но всё же абсолютно одинаковые. Если второй игрок возьмёт палочки из правой половинки, не проблема, первый скопирует этот ход в левой половинке. Таким образом, если у второго будет ход, первый сможет ответить симметрично. Значит, последний ход не может остаться за вторым игроком, его сделает первый — и выиграет.

А вот немного другая версия той же игры. Допустим, перед игроками всё те же 20 палочек, и за ход по-прежнему можно брать одну, две или три. Но ни слова о «соседних палочках». Побеждает, как и раньше, тот, кто берёт последнюю. Сможет ли первый игрок гарантировать себе победу?
Нет! На этот раз уже второй игрок может применить выигрышную стратегию. Правда, речь пойдёт не о симметрии. Второй игрок после своего хода всегда может оставить на 4 палочки меньше.

Судите сами:

●A Если первый берёт одну, то второй — три.

●B Если первый — две, то и второй — две.

●C Если первый берёт три, второй — одну.

После первой пары ходов палочек станет 16, что бы ни сделал первый игрок. Точно так же второй сможет затем оставить 12 палочек. Потом 8, 4. И наконец 0. Итак, именно после хода второго игрока пало- чек не останется, а значит, он победит. Выигрышная стратегия на этот раз заключалась в следующем: всё время дополняй количество взятых палочек до 4. И снова приходится констатировать: даже если первый игрок будет суперпрофессионал с максимальным IQ, против этой стратегии он бессилен. Кстати, если бы палочек было не 20, а, например, 21, победил бы первый игрок. Вначале он взял бы одну палочку, а затем применил стратегию, описан- ную выше. Думаю, вы догадываетесь, кто победит, если палочек будет 100. А если 2018? Наиболее прозорливые могут попытаться сформулировать общее правило.

Заглавное изображение: Unsplash